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It also has a standard differentiable structure on it, making it a differentiable manifold. Up to diffeomorphism , there is only one differentiable structure that the topological space supports.

The real line is a locally compact space and a paracompact space , as well as second-countable and normal. It is also path-connected , and is therefore connected as well, though it can be disconnected by removing any one point.

The real line is also contractible , and as such all of its homotopy groups and reduced homology groups are zero. As a locally compact space, the real line can be compactified in several different ways.

The one-point compactification of R is a circle namely the real projective line , and the extra point can be thought of as an unsigned infinity.

In some contexts, it is helpful to place other topologies on the set of real numbers, such as the lower limit topology or the Zariski topology.

For the real numbers, the latter is the same as the finite complement topology. The real line is a vector space over the field R of real numbers that is, over itself of dimension 1.

It has a standard inner product , making it a Euclidean space. The inner product is simply ordinary multiplication of real numbers. The standard norm on R is simply the absolute value function.

The real line carries a canonical measure , namely the Lebesgue measure. This measure can be defined as the completion of a Borel measure defined on R , where the measure of any interval is the length of the interval.

Lebesgue measure on the real line is one of the simplest examples of a Haar measure on a locally compact group. Similarly, the algebra of quaternions.

In this way the real line consists of the fixed points of the conjugation. From Wikipedia, the free encyclopedia. This article covers advanced topics.

For basic topics, see Number line. This article includes a list of references , related reading or external links , but its sources remain unclear because it lacks inline citations.

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